辛马斯特猜想（Singmaster’s conjecture）

辛马斯特猜想（Singmaster’s conjecture）是组合数论中的一个猜想，以英国数学家大卫·辛马斯特（David Singmaster）的名字命名，他在 1971 年提出了这一猜想。该猜想认为，杨辉三角（帕斯卡三角）中数字出现的次数（即“重数”）存在一个有限的上界。

显然，唯一在杨辉三角中出现无限次的数字是 1，因为任何其他数字 $x$ 只可能出现在该三角形的前 $x+1$ 行中。

设 $N(a)$ 为数字 $a$（$a > 1$）在杨辉三角中出现的次数。用大 O 符号表示，该猜想为：

$$N(a) = O(1)$$

是否存在一个常数 $N$，使得杨辉三角中的每一个条目（除了 1 以外）出现的次数都少于 $N$ 次？

基本例子 (Elementary examples)

以下是杨辉三角中不同数字出现次数的已知情况：

出现 1 次： 2 只出现一次；所有更大的正整数都出现超过一次。
出现 2 次： 3、4、5 各出现两次；有无限多个数字恰好出现两次。所有的奇素数也都出现两次。
出现 3 次： 6 出现三次，所有的“中心二项式系数”（除了 1 和 2）也是如此。
- 注：原则上不排除某个中心二项式系数会出现 5 次、7 次或更多次，但目前没有已知的例子。
出现 4 次： 所有形式为 $\binom{p}{2}$ 的数字（其中 $p > 3$ 为质数）都出现四次。
出现 6 次： 有无限多个数字恰好出现六次，其中包括以下数字：
- $$120 = \binom{120}{1} = \binom{120}{119} = \binom{16}{2} = \binom{16}{14} = \binom{10}{3} = \binom{10}{7}$$
- $$210 = \binom{210}{1} = \binom{210}{209} = \binom{21}{2} = \binom{21}{19} = \binom{10}{4} = \binom{10}{6}$$
- $$1540 = \binom{1540}{1} = \binom{1540}{1539} = \binom{56}{2} = \binom{56}{54} = \binom{22}{3} = \binom{22}{19}$$
- $$7140 = \binom{7140}{1} = \binom{7140}{7139} = \binom{120}{2} = \binom{120}{118} = \binom{36}{3} = \binom{36}{33}$$
- $$11628 = \binom{11628}{1} = \binom{11628}{11627} = \binom{153}{2} = \binom{153}{151} = \binom{19}{5} = \binom{19}{14}$$
- $$24310 = \binom{24310}{1} = \binom{24310}{24309} = \binom{221}{2} = \binom{221}{219} = \binom{17}{8} = \binom{17}{9}$$

辛马斯特无限家族（以斐波那契数的形式给出）中的下一个数字，同时也是下一个已知出现 6 次或更多次 的最小数字是：

$$a = 61218182743304701891431482520$$

出现 8 次 的最小数字——实际上，也是目前唯一已知出现 8 次的数字——是 3003。它也是辛马斯特那个“重数至少为 6”的无限家族成员之一。

3003 的出现方式如下：

$$3003 = \binom{3003}{1} = \binom{78}{2} = \binom{15}{5} = \binom{14}{6} = \binom{14}{8} = \binom{15}{10} = \binom{78}{76} = \binom{3003}{3002}$$

目前尚不清楚是否有无限多个数字出现 8 次，甚至不清楚除 3003 以外是否有其他数字出现 8 次。

相关的统计性质与序列：

出现次数序列： 数字 $n$ 在杨辉三角中出现的次数构成的序列是（OEIS A003016）：$\infty, 1, 2, 2, 2, 3, 2, 2, 2, 4, 2, 2, 2, 2, 3, 4, 2, \dots$
出现次数的上界： 根据 Abbott, Erdős 和 Hanson (1974) 的研究，不大于 $x$ 且在杨辉三角中出现超过 2 次的整数个数为 $O(x^{1/2})$。
最小自然数序列： 在杨辉三角中出现（至少）$n$ 次的最小自然数（大于 1）是（OEIS A062527）：$2, 3, 6, 10, 120, 120, 3003, 3003, \dots$
高频数字序列： 在杨辉三角中出现至少 5 次的数字是（OEIS A003015）：$1, 120, 210, 1540, 3003, 7140, 11628, 24310, 61218182743304701891431482520, \dots$

关于辛马斯特猜想，目前仍有许多未解之谜：